Sucesiones acotadas.
Se dice acotada que una sucesión es acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número \(x\) menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro y mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre \(x\) y \(y\Longrightarrow x\le\ a_n\le y\)
Definición de sucesión acotada.
1. Una sucesión \(\left\{a_n\right\}\) está acotada superiormente o por arriba si existe un número real \(M\) tal que \(a_n \le M\) para todo \(n\). El número \(M\) es llamado una cota superior de la sucesión.
2. Una sucesión \(\left\{a_n\right\}\) está acotada inferiormente o por abajo si existe un número real \(N\) tal que \(N \le a_n\) para todo \(n.\) El número \(N\) es llamado una cota inferior de la sucesión.
3. Una sucesión es acotada si lo está superior e inferiormente.
Sucesiones acotadas inferiormente.
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número \(K\), llamado cota inferior de la sucesión \(a_n\geq k.\) A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo. Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión. La demostración se hará más adelante al analizar los límites de una sucesión.
Sucesiones acotadas superiormente. Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número \(K,\) llamada cota superior de la sucesión \(a_n=k'.\) A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo. Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión (esta demostración se hará más adelante al analizar el límite de una sucesión).
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Sucesiones acotadas.
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Sucesiones convergentes y divergentes.
Se dice que una sucesión es convergente si sus términos tienden a valores límites. Si no, será divergente.
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito (el límite existe).
Ejemplo: Dada la sucesion cuyo término general es, $$\left\{a_n\right\}=\ \frac{1}{2^n}$$ se pude ver que ésta sucesión tiende a cero ya que al darle valor a \(n\) se tiene \left\{a_n\right\}=\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{16},\ \frac{1}{32},\ldots\frac{1}{2^n}\ y como se pude ver a medida que crece el denominador el límite de la sucesión tiende a cero, luego como el límite existe entonce la sucesión es convergente.
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